a) Đặt n2 + 2006 = a2 ( a \(\in\) Z )
\(\Rightarrow\) 2006 = a2 - n2 = ( a - n )( a + n )
Mà ( a - n )( a + n ) = 2n chia hết cho 2
\(\Rightarrow\) a - n và a + n cùng chẵn lẻ
TH1:
a + n và a - n cùng lẻ \(\Rightarrow\) ( a - n )( a + n ) cùng lẻ ( loại )
TH2:
a + n và a - n cùng chẵn \(\Rightarrow\) ( a - n )( a + n ) chia hết cho 4 ( loại )
Vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn n2 + 2006 là một số chính phương
b) Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n không chia hết cho 3
Ta có:
n = 3k + 1 hoặc 3k + 2 ( k \(\in\) N* )
TH1:
n = 3k + 1
\(\Rightarrow\) ( 3k + 1 )2 + 2006 = 9k2 + 6k + 2007 chia hết cho 3 và lớn hơn 3
\(\Rightarrow\) n2 + 2006 là hợp số ( 1 )
TH2:
n = 3k + 2
\(\Rightarrow\) ( 3k + 2 )2 + 2006 = 9k2 + 12k + 2010 chia hết cho 3 và lớn hơn 3
\(\Rightarrow\) n2 + 2006 là hợp số ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\) n2 + 2006 là hợp số
Vậy n2 + 2006 là hợp số
