a) Vì n² - 18n - 10 là số chính phương ⇒ n² - 18n - 10 = k² (k ∈ N)

⇔ (n² - 18n + 81) - 91 = k² 

⇔ (n - 9)² - 91 = k² 

⇔ (n - 9)² - k² = 91

⇔ (n - 9 + k)(n - 9 - k) = 91

Xét n - 9 + k > n - 9 - k 

k, n ∈ N 

TH1: $\left \{ {{n-9+k=91} \atop {n-9-k=1}} \right.$ 

⇔ $\left \{ {{n+k=100} \atop {n-k=10}} \right.$ 

⇔ $\left \{ {{n=55} \atop {k=45}} \right.$ 

TH2: $\left \{ {{n-9+k=13} \atop {n-9-k=7}} \right.$ 

⇔ $\left \{ {{n+k=22} \atop {n-k=16}} \right.$  

⇔ $\left \{ {{n=19} \atop {k=3}} \right.$ 

Vậy n ∈ { 19 ; 55 }

b) 

Có: $\frac{a}{1+b²}$ = $\frac{a+ab²-ab²}{1+b²}$ = $\frac{a(1+b)²-ab²}{1+b²}$ = a - $\frac{ab²}{1+b²}$ 

Tương tự: $\frac{b}{1+c²}$ = b - $\frac{bc²}{1+c²}$ 

$\frac{c}{1+a²}$ = c - $\frac{ca²}{1+a²}$ 

Có: 1 + b² $\geq$ 1 > 0 

Áp dụng BĐT Cauchy: 1 + b² $\geq$ 2b 

⇔ $\frac{1}{1+b²}$ $\leq$ $\frac{1}{2b}$ 

⇔ $\frac{ab²}{1+b²}$ $\leq$ $\frac{ab²}{2b}$ 

⇔ - $\frac{ab²}{1+b²}$ $\geq$ - $\frac{ab²}{2b}$ 

⇔ a - $\frac{ab²}{1+b²}$ $\geq$ a - $\frac{ab²}{2b}$ 

⇔ a - $\frac{ab²}{1+b²}$ $\geq$ a - $\frac{ab}{2}$ (1)

CMTT có: 

b - $\frac{bc²}{1+c²}$ $\geq$ b - $\frac{bc}{2}$ (2)

c - $\frac{ca²}{1+a²}$ $\geq$ c - $\frac{ca}{2}$ (3)

Từ (1) (2) (3) cộng 2 vế BĐT cùng chiều được:

a - $\frac{ab²}{1+b²}$ + b - $\frac{bc²}{1+c²}$ + c - $\frac{ca²}{1+a²}$ $\geq$ a - $\frac{ab}{2}$ + b - $\frac{bc}{2}$ + c - $\frac{ca}{2}$ 

⇔ VT $\geq$ (a + b + c) - $\frac{ab+bc+ca}{2}$ (*)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số a, b, c ∈ Z+:

(a + b + c)² $\geq$ 3(ab + bc +ca) 

⇔ (ab + bc +ca) $\leq$ $\frac{3²}{3}$ 

⇔ (ab + bc +ca) $\leq$ 3

Từ (*) ⇔ VT $\geq$ 3 - $\frac{3}{2}$ 

⇔ VT $\geq$ $\frac{3}{2}$ (đpcm)