Đáp án:
a) $ T = 1$
b) $ A > B$
Giải thích các bước giải:
a) Nhận xét:
$\sqrt[]{4 + \sqrt[]{10 + 2\sqrt[]{5}}} > \sqrt[]{4 + 1} = \sqrt[]{5} ⇒T > 0$
$ T = \sqrt[]{4 + \sqrt[]{10 + 2\sqrt[]{5}}} + \sqrt[]{4 - \sqrt[]{10 + 2\sqrt[]{5}}} - \sqrt[]{5}$
$ ⇔ T + \sqrt[]{5} = \sqrt[]{4 + \sqrt[]{10 + 2\sqrt[]{5}}} + \sqrt[]{4 - \sqrt[]{10 + 2\sqrt[]{5}}} $
$ ⇔ (T + \sqrt[]{5})² = (4 + \sqrt[]{10 + 2\sqrt[]{5}}) + (4 - \sqrt[]{10 + 2\sqrt[]{5}}) + 2\sqrt[]{4² - (\sqrt[]{10 + 2\sqrt[]{5}})²}$
$ ⇔ T² + 2\sqrt[]{5}T + 5 = 8 + 2\sqrt[]{16 - (10 + 2\sqrt[]{5})} $
$ ⇔ T² + 2\sqrt[]{5}T - 3 = 2\sqrt[]{6 - 2\sqrt[]{5}} = 2\sqrt[]{(\sqrt[]{5} - 1)²} = 2(\sqrt[]{5} - 1) $
$ ⇔ T² - 1 + 2\sqrt[]{5}(T - 1) = 0$
$ ⇔ (T - 1)(T + 1 + 2\sqrt[]{5}) = 0$
$ ⇔ T - 1 = 0$ (vì $ T >0$)
$ ⇔ T = 1$
b) Ta có : $\sqrt[]{2016} + \sqrt[]{2014} < \sqrt[]{2022} + \sqrt[]{2018} $
$ ⇒ \frac{1}{\sqrt[]{2016} + \sqrt[]{2014}} > \frac{1}{\sqrt[]{2022} + \sqrt[]{2018}} (1)$
$\sqrt[]{2017} + \sqrt[]{2015} < \sqrt[]{2022} + \sqrt[]{2018} $
$ ⇒ \frac{1}{\sqrt[]{2017} + \sqrt[]{2015}} > \frac{1}{\sqrt[]{2022} + \sqrt[]{2018}} (2)$
$(1) + (2):$
$\frac{1}{\sqrt[]{2016} + \sqrt[]{2014}} + \frac{1}{\sqrt[]{2017} + \sqrt[]{2015}} > \frac{2}{\sqrt[]{2022} + \sqrt[]{2018}}$
$ ⇔\frac{2}{\sqrt[]{2016} + \sqrt[]{2014}} + \frac{2}{\sqrt[]{2017} + \sqrt[]{2015}} > \frac{4}{\sqrt[]{2022} + \sqrt[]{2018}}$
$ ⇔\frac{2(\sqrt[]{2016} - \sqrt[]{2014})}{2016 - 2014} + \frac{2(\sqrt[]{2017} - \sqrt[]{2015})}{2017 - 2015} > \frac{4(\sqrt[]{2022} - \sqrt[]{2018})}{2022 - 2018}$
$ ⇔ (\sqrt[]{2016} - \sqrt[]{2014}) + (\sqrt[]{2017} - \sqrt[]{2015}) > \sqrt[]{2022} - \sqrt[]{2018}$
$ ⇔ \sqrt[]{2016} + \sqrt[]{2017} + \sqrt[]{2018} > \sqrt[]{2014} + \sqrt[]{2015} + \sqrt[]{2022}$
$ ⇔ A > B$
