Đáp án:
$a = 9, b = 15, c = 45$
Giải thích các bước giải:
Theo đề bài ta có
$\dfrac{ab + ac}{2} = \dfrac{bc + ba}{3} = \dfrac{ca + cb}{4}$
Áp dụng tchat dãy tỉ số bằng nhau ta có
$\dfrac{ab + ac}{2} = \dfrac{bc + ba}{3} = \dfrac{ca + cb}{4} = \dfrac{ab + ac - bc - ba - ca - cb}{2 - 3 - 4} = \dfrac{2bc}{5}$
Từ đó ta suy ra
$\dfrac{bc + ba}{3} = \dfrac{2bc}{5}$
$\Leftrightarrow 5ab + 5bc = 6bc$
$\Leftrightarrow 5a + 5c = 6c$
$\Leftrightarrow c = 5a$
Một lần nữa áp dụng tchat dãy tỉ số bằng nhau ta có
$\dfrac{ab + ac}{2} = \dfrac{bc + ba}{3} = \dfrac{ca + cb}{4} = \dfrac{-ab - ac + bc + ba - ca - cb}{-2 + 3 - 4} = \dfrac{2ac}{3}$
Từ đó suy ra
$\dfrac{ab + ac}{2} = \dfrac{2ac}{3}$
$\Leftrightarrow 3ab + 3ac = 4ac$
$\Leftrightarrow 3ab = ac$
$\Leftrightarrow 3b = c$
Từ đó ta có
$5a = 3b = c$
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{c}{15}$
Áp dụng tchat dãy tỉ số bằng nhau ta có
$\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{c}{15} = \dfrac{a + b + c}{15 + 5 + 3} = \dfrac{69}{23} = 3$
Suy ra $a = 9, b = 15, c = 45$.
