Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
Đặt: \(f\left( x \right) = \left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) + ax + b\)
\(f\left( x \right)\) chia hết cho \(x - a\) khi và chỉ khi \(f\left( a \right) = 0\).Giải chi tiết:Xác định đa thức \(f\left( x \right)\) biết \(f\left( x \right)\) chia hết cho \(2x - 1\), chia cho \(x - 2\) thì dư \(6\), chia cho \(2{x^2} - 5x + 2\) được thương là \(x + 2\) và còn dư.
Vì \(f\left( x \right)\) chia cho \(2{x^2} - 5x + 2\) được thương là \(x + 2\) và còn dư.
Gọi dư trong phép chia đó là \(ax + b\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) + ax + b\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) + ax + b\end{array}\)
Vì đa thức \(f\left( x \right)\) chia hết cho \(2x - 1\) nên ta có: \(\frac{a}{2} + b = 0\) (1)
Vì đa thức \(f\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\) dư \(6\) nên ta có: \(2a + b = 6\) (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được: \( - \frac{3}{2}a = - 6 \Rightarrow a = 4\)
Thay \(a = 4\) vào (2) ta được: \(b = - 2\)
Khi đó ta có: \(f\left( x \right) = \left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) + 4x - 2\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) + 4x - 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{x^3} + 4{x^2} - 5{x^2} - 10x + 2x + 4 + 4x - 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{x^3} - {x^2} - 4x + 2\end{array}\)
Vậy \(f\left( x \right) = 2{x^3} - {x^2} - 4x + 2\).
