Đáp án:
$(P):y = -\dfrac12x^2 + 2x - 3$
Giải thích các bước giải:
$\quad (P):y = ax^2 + bx + c\quad (a \ne 0)$
Tọa độ đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)$
Theo đề ta có: $I(2;-1)$
$\to \begin{cases}-\dfrac{b}{2a} = 2\\-\dfrac{b^2 - 4ac}{4a} = -1\end{cases}$
$\to \begin{cases}b = -4a\\b^2 - 4a(c+1) =0\end{cases}$
$\to \begin{cases}b = -4a\\b^2 +b(c+1) = 0\end{cases}$
Ta lại có: $(P)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-3$
$\to -3 = a.0^2 + b.0 +c \to c = -3$
Khi đó:
$\quad \begin{cases}b = -4a\\b^2 -2b = 0\\c = -3\end{cases}$
$\to \begin{cases}b = -4a\\\left[\begin{array}{l}b =0\to a = 0\quad (loại)\\b = 2\to a =-\dfrac12\quad (nhận)\end{array}\right.\\c = -3\end{cases}$
$\to \begin{cases}a = -\dfrac12\\b = 2\\c =-3\end{cases}$
Vậy $(P):y = -\dfrac12x^2 + 2x - 3$
