a)
Xét $\Delta ABC$, ta có:
$M$ là trung điểm $AB$
$N$ là trung điểm $BC$
$\to MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$
$\to MN=\frac{1}{2}AC$ và $MN\,\,||\,\,AC$
$\to MN=\frac{1}{2}AC$ và $ME\,\,||\,\,AC$
Xét tứ giác $ACEM$, ta có:
$ME\,\,||\,\,AC$
$CE\,\,||\,\,AM$
$\to ACEM$ là hình bình hành
b)
Xét $\Delta MCE$, ta có:
$N$ là trung điểm $BC$
$O$ là trung điểm $MC$
$\to NO$ là đường trung bình của $\Delta MCE$
$\to NO=\frac{1}{2}CE$
Mà:
$\begin{cases}CE=AM\\AM=\dfrac{1}{2}AB\end{cases}$
$\to NO=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}AB$
$\to NO=\frac{1}{4}AB$
Tứ giác $ACEM$ là hình bình hành
Có $O$ là trung điểm $MC$
Nên $O$ cũng là trung điểm $AE$
Hay nói cách khác $3$ điểm $A,O,E$ thẳng hàng
c)
Xét $\Delta ABC$ có:
$N$ là trung điểm $BC$
$NF\,\,||\,\,AB$
$\to F$ là trung điểm $AC$
Ta có:
$\begin{cases}AM=\dfrac{1}{2}AB\\AF=\dfrac{1}{2}AC\\AB=AC\end{cases}\to\,\,\,\,\,AM=AF$
Xét tứ giác $MNFA$, ta có:
$MN\,\,||\,\,AF$
$NF\,\,||\,\,AM$
$\to MNFA$ là hình bình hành
Có: $AM=AF$
Nên $MNFA$ là hình thoi
d)
Vì $ACME$ là hình bình hành
$\to CE=AM$ và $CE\,\,||\,\,AM$
$\to CE=MB$ và $CE\,\,||\,\,MB$
$\to BECM$ là hình bình hành
Để $BECM$ là hình chữ nhật thì:
$\widehat{BMC}=90{}^\circ $
$\to CM\bot AB$
$\to CM$ là đường cao của $\Delta ABC$
Mà $CM$ cũng là đường trung tuyến $\Delta ABC$
$\to \Delta ABC$ cân tại $C$
Mà $\Delta ABC$ lại cân tại $A$
$\to \Delta ABC$ là tam giác đều:
Kết luận:
$\Delta ABC$ đều thì tứ giác $BECM$ là hình chữ nhật
