a)
Xét hai tam giác : $ΔAEB$ và $ΔAFC$ có :
$\widehat{BAC}$ : Góc chung
$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}$
$⇒ΔAEB~ΔAFC (g.g)$
$⇒\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}$
$⇔AE.AC=AF.AB$
b)
Xét hai tam giác : $ΔAEF$ và $ΔABC$ có :
$\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}$
$\widehat{BAC}$ : Góc chung
$⇒ΔAEF~ΔABC ( c.g.c )$
$⇒\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$
c)
$\dfrac{S_{ΔABC}}{S_{ΔAEF}}=\left (\dfrac{AB}{AE} \right )^2=\left (\dfrac{6}{3} \right )^2=4$
$⇒S_{ΔABC}=4S_{ΔAEF}$
d)
Kéo dài $AH$ cắt $BC$ tại $D$
Các đường cao $BE , CF$ cắt nhau tại $H$
$⇒H$ là trực tâm của $ΔABC$
$⇒AD$ là đường cao của $ΔABC$
Xét hai tam giác : $ΔBHD$ và $ΔBCE$ có :
$\widehat{EBC}$ : Góc chung
$\widehat{BDH}=\widehat{BEC}$
$⇒ΔBHD~ΔBCE ( g.g )$
$⇒\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BD}{BE}$
$⇔BH.BE=BD.BC$
Xét hai tam giác : $ΔCHD$ và $ΔCBF$ có :
$\widehat{FCB}$ : Góc chung
$\widehat{CDH}=\widehat{CFB}$
$⇒ΔCHD~ΔCBF ( g.g )$
$⇒\dfrac{CH}{BC}=\dfrac{CD}{CF}$
$⇔CH.CF=CD.BC$
Ta có :
$BH.BE+CH.CF$
$=BD.BC+CD.BC$
$=(BD+CD).BC$
$=BC.BC=BC^2$ ( ĐPCM )
