1) Ta có $EF \perp OM$ với M là tiếp điểm. DO đó EF là tiếp tuyến của đường tròn (O)
2) Do Ax là tiếp tuyến của đường tròn, nên $\widehat{EAO} = 90^{\circ}$
Xét tam giác vuông OEA và OEM có
$\begin{cases}
OA=OM (= R)\\
OE chung
\end{cases}$
Vậy tam giác OEA = OEM nên AE=EM.
CMTT ta có BF=FM
Ta lại có
$EF = ME + MF = AE + BF$
Vậy ta có điều phải cminh.
3) Lấy N là trung điểm EF và kẻ $OP \perp AB (P \in (O))$
Khi đó, ON là đường trung bình của hình thang AEFB và
$ON = \dfrac{AE + BF}{2} = \dfrac{EF}{2}$
Vậy để EF có độ dài nhỏ nhất thì ON phải nhỏ nhất.
Mặt khác, dễ thấy rằng $ON \geq OP$.
Vậy ON nhỏ nhất khi ON = OP, tức là $ON \perp AB$.
Do đó $M \equiv P$ thì EF có độ dài nhỏ nhất, tức là $OM \perp AB$.
