Chứng minh
$\frac{x²}{a}$ + $\frac{y²}{b}$ $\geq$ $\frac{(x+y)²}{a+b}$ ( với x,y > 0 )
CM: Giả sử $\frac{x²}{a}$ + $\frac{y²}{b}$ $\geq$ $\frac{(x+y)²}{a+b}$ ( với x,y > 0 )
⇔ $\frac{x²b+y²a}{ab}$ $\geq$ $\frac{(x+y)²}{a+b}$
⇔ $(x²b+y²a)_{}$$(a+b)_{}$ $\geq$ $(x+y)²_{}$$ab_{}$
⇔ $x²ab + x²b² + y²a² + y²ab_{}$ $\geq$ $(x²+2xy+y²)_{}$$ab_{}$
⇔ $x²ab + x²b² + y²a² + y²ab_{}$ $\geq$ $x²ab + 2xyab + y²ab_{}$
⇔ $x²ab + x²b² + y²a² + y²ab_{}$ - $x²ab - 2xyab - y²ab_{}$ $\geq$ 0
⇔ $ x²b² + y²a² - 2xyab {}$ $\geq$ 0
⇔ $ x²b² + y²a² - 2xb.ya {}$ $\geq$ 0
⇔ $ (xb - ay )² {}$ $\geq$ 0 ( giả sử đúng )
Dấu ''='' xảy ra khi xb = ay hay $\frac{x}{a}$ = $\frac{y}{b}$ .
Áp dụng BĐT trên cho ba số $\frac{x²}{a}$,$\frac{y²}{b}$,$\frac{z²}{c}$ ta được :
$\frac{x²}{a}$+ $\frac{y²}{b}$ + $\frac{z²}{c}$
⇔ ( $\frac{x²}{a}$+ $\frac{y²}{b}$ ) + $\frac{z²}{c}$ $\geq$ $\frac{(x+y)²}{a+b}$ + $\frac{z²}{c}$
$\geq$ $\frac{(x+y+z)²}{a+b+c}$
Dấu ''='' xảy ra khi $\frac{x}{a}$ =$\frac{b}{y}$ =$\frac{c}{z}$ .
→ Đây là BĐT: Svacxơ : cộng mẫu.
