a)
Xét hai tam giác vuông $\Delta ABE$ và $\Delta ADF$ có:
$\widehat{BAE}=\widehat{DAF}$ (cùng phụ $\widehat{EAD}$) ; $AB=AD$
$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta ADF\left( cgv-gn \right)$
$\Rightarrow AE=AF$$\Rightarrow \Delta AEF$ vuông cân
$\Rightarrow AI$ là đường trung trực của $EF$
Mà $G\in AI$ nên $GE=GF$
$\Rightarrow \widehat{GEF}=\widehat{GFE}$ ; Mà $\widehat{GEF}=\widehat{KFE}$ (slt)
$\Rightarrow \widehat{GFE}=\widehat{KFE}\Rightarrow FE$ là phân giác $\widehat{GFK}$
Lại có $FE$ là đường cao nên $\Delta FGK$ cân tại $F$
$\Rightarrow FE$ là đường trung trực của $GK$
Vì $EGFK$ có hai đường chéo là trung trực
$\Rightarrow EGFK$ là hình thoi
b)
Xét $\Delta FAK$ và $\Delta FCA$ có:
$\widehat{AFC}$ chung, $\widehat{FAK}=\widehat{FCA}=45{}^\circ $
$\Rightarrow \Delta FAK\backsim\Delta FCA\Rightarrow A{{F}^{2}}=FK.FC$
c)
Chu vi $\Delta EKC$
$=EK+CE+CK$
$=FK+CE+CK$
$=FD+DK+CE+CK$
$=BE+DK+CE+CK$
$=\left( BE+CE \right)+\left( DK+CK \right)$
$=2a$ (không đổi)
