$ S = \dfrac{a}{a+b+c} + \dfrac{b}{a+b+d} + \dfrac{c}{b+c+d} + \dfrac{d}{a+c+d}$
Ta có :
$ \dfrac{a}{a+b+c} > \dfrac{a}{a+b+c+d}$
$ \dfrac{b}{a+b+d} > \dfrac{b}{a+b+c+d} $
$ \dfrac{c}{b+c+d} > \dfrac{c}{a+b+c+d}$
$ \dfrac{d}{a+c+d} >\dfrac{d}{a+b+c+d}$
Cộng vế với vế, ta có
$ S > \dfrac{a}{a+b+c+d} + \dfrac{b}{a+b+c+d} + \dfrac{c}{a+b+c+d} + \dfrac{d}{a+b+c+d} = \dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d} = 1$ (*)
Mặt khác, ta có
$ \dfrac{a}{a+b+c} < \dfrac{a+d}{a+b+c+d}$
$\dfrac{b}{a+b+d} < \dfrac{b+c}{a+b+c+d}$
$ \dfrac{c}{b+c+d} < \dfrac{a+c}{a+b+c+d}$
$ \dfrac{d}{a+c+d} < \dfrac{d+b}{a+b+c+d}$
Cộng vế với vế ta có
$ S < \dfrac{a+d+b+c+a+c+d+b}{a+b+c+d} = \dfrac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d} = 2$ (**)
Từ (*);(**) suy ra $ 1 < S < 2$
$\to S$ không là số tự nhiên (điều phải chứng minh)
