Đáp án:
Giải thích các bước giải:
cos x + 1/cos x + sin x + 1/sin x = 10/3
đk: sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0 --> sin2x ≠ 0 --> x ≠ kπ/2 (k ∈ Z)
pt ⇔ (sinx + cosx) + (sinx + cosx)/(sinx.cosx) = 10/3
⇔ 3(sinx + cosx).sinx.cosx + 3(sinx + cosx) = 10sinx.cosx
⇔ 3(sinx + cosx)(sinx.cosx + 1 ) = 10sinx.cosx (✽)
đặt t = sinx + cosx = √2.sin(x + π/4) --> -√2 ≤ t ≤ √2 (*)
có: t² = sin²x + 2sinx.cosx + cos²x --> sinx.cosx = (t² - 1)/2
Thay vào pt (✽) ta có:
3t.[ (t² - 1)/2 + 1) ] = 5(t² - 1)
⇔ 3t(t² + 1) = 10(t² - 1)
⇔ 3t³ - 10t² + 3t + 10 = 0
⇔ 3t³ - 6t² - 4t² + 8t - 5t + 10 = 0
⇔ 3t²(t - 2) - 4t(t - 2) - 5(t - 2) = 0
⇔ (t - 2)(3t² - 4t - 5) = 0
⇔ [ t = 2 : loại do ko t.m đk
. . .[ t = (2 - √19)/3 : t/m đk (*)
. . .[ t = (2 + √19)/3 : loại do ko t/m đk (*)
t = (2 - √19)/3 --> √2.sin(x + π/4) = (2 - √19)/3
--> sin(x + π/4) = (2 - √19)/(3√2)
--> [ x = -π/4 + arcsin[(2 - √19)/(3√2)] + m2π (m ∈ Z)
. . .[ x = 3π/4 - arcsin[(2 - √19)/(3√2)] + m2π (m ∈ Z)
cả 2 nghiệm đều t/m đk ban đầu
