Đáp án:
$1)\quad F(x)= x^2 +\cos3x +3$
$2)\quad I = \sqrt3$
$3)\quad (P): 4x + 2y - z - 15 = 0$
Giải thích các bước giải:
Câu 1:
Ta có:
$\quad F(x)=\displaystyle\int f(x)dx$
$\to F(x)= \displaystyle\int(2x - 3\sin3x)dx$
$\to F(x)= x^2 +\cos3x + C$
Ta lại có:
$\quad F(0)= 4$
$\to 0 + \cos0 + C = 4$
$\to C = 3$
Do đó:
$\quad F(x)= x^2 + \cos3x + 3$
Câu 2:
$\quad I = \displaystyle\int\limits_1^2x\sqrt{x^2 -1}dx$
Đặt $u = x^2 - 1$
$\to du = 2xdx$
Đổi cận:
$x\quad \Big|\quad 1\qquad 2$
$\overline{u\quad \Big|\quad 0\qquad 3}$
Ta được:
$\quad I =\dfrac12\displaystyle\int\limits_0^3\sqrt udu$
$\to I =\dfrac13u^{\tfrac32}\Bigg|_0^3$
$\to I = \sqrt3$
Câu 3:
$A(3;1;-1),\quad B(1;3;-2)$
$\to \overrightarrow{AB}=(-2;2;-1)$
Ta có: $(P)\perp (Q)$
$\to (P)$ nhận $VTPT\, \overrightarrow{n_{(Q)}}= (2;-1;3)$ của $(Q)$ làm $VTCP$
$\to \overrightarrow{n_{(P)}}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{(Q)}}\right]$
$\to \overrightarrow{n_{(P)}}=(8;4;-2)$
Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(3;1;-1)$ nhận $\overrightarrow{n_{(P)}}=(8;4;-2)$ làm $VTPT$ có dạng:
$(P): 8(x-3) + 4(y-1) - 2(z+1)=0$
$\to (P): 4x+2y - z - 15 = 0$
