Đáp án:
\(m = \dfrac{7}{3}\)
Giải thích các bước giải:
Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow \)\(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 2m + 2} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow - 3{m^2} + 10m - 7 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le \dfrac{7}{3}\)
Khi đó phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 2\end{array} \right.\)
Ta có:
\(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\) \( = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - 2m + 2} \right) = - {m^2} + 6m - 3\)
Xét hàm số \(f\left( m \right) = - {m^2} + 6m - 3\) trong đoạn \(\left[ {1;\dfrac{7}{3}} \right]\) có bảng biến thiên:
Từ bbt ta thấy \(f\left( m \right)\) đạt GTLN bằng \(\dfrac{{50}}{9}\) khi \(m = \dfrac{7}{3}\).
