Đáp án: $P=275$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=((x+y)^2-2xy)^2-2x^2y^2=(x+y)^4-4xy(x+y)^2+2x^2y^2$
Mà $x+y=5, x^4+y^4+x^2+y^2=110$
$\to 110=(x+y)^4-4xy(x+y)^2+2x^2y^2+(x+y)^2-2xy$
$\to 110=5^4-4xy\cdot 5^2+2x^2y^2+5^2-2xy$
$\to 110=2x^2y^2-102xy+650$
$\to 2x^2y^2-102xy+540=0$
$\to x^2y^2-51xy+270=0$
$\to (xy-45)(xy-6)=0$
$\to xy\in\{45,6\}$
Mà $xy\le \dfrac14(x+y)^2=\dfrac14\cdot 5^2\to xy=6$
$\to\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases}$
$\to x,y$ là nghiệm của phương trình:
$t^2-5t+6=0\to (t-2)(t-3)=0\to t\in\{2,3\}$
$\to (x,y)\in\{(2,3), (3,2)\}$
$\to x^5+y^5=275$
