a) Áp dụng định lý $Pytago $ trong $∆MNP$ vuông tại $M$ ta có
$NP^2 = MN^2 + MP^2 $
$NP^2 = 6^2 + 8^2 $
$NP^2 = 36 + 64 = 100$
=> $NP= \sqrt{100} = 10 cm$
Vì $MD$ là tia phân giác của $\widehat{NMP} $ trong $∆MNP$
Áp dụng tính chất tia phân giác trong tam giác ta có
=>$\dfrac{ND}{NM} = \dfrac{DP}{MP} $
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
$\dfrac{ND}{NM} = \dfrac{DP}{MP} = \dfrac{ND+DP}{NM+MP} = \dfrac{NP}{6+8} = \dfrac{10}{14} =\dfrac{5}{7} $
$=> ND = \frac{5}{7}.NM = \frac{5}{7} .6 = \frac{30}{7} cm$
$=> DP = \frac{5}{7} .MP= \frac{5}{7}.8 = \frac{40}{7} cm$
b) Kẻ $MH $ vuông góc với $NP $ => $MH$ là đường cao của $∆NMP$
=> ta có $S_{MDN} = \frac{1}{2}.MH .ND $
=> ta có $S_{MDP} = \frac{1}{2}.MH .DP $
Tỉ số diện tích giữa hai tam giác là
$\dfrac{S_{MDP}}{S_{MDN}} = \dfrac{\frac{1}{2}.MH .DP}{\frac{1}{2}.MH .ND } = \dfrac{ND}{DP} = \dfrac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}} = \frac{4}{3} $
c) $S_{MDP} = \frac{4}{3}.S_{MDN} $
Ta có : $S_{MNP} = S_{MDN} + S_{MDP} $
$S_{MNP} = S_{MDN} + \frac{4}{3} .S_{MDN} $
$S_{MNP} = \dfrac{7}{3}.S_{MDN} $
=> $S_{MNP} = \frac{1}{2}.MN.MP = \frac{1}{2}.6.8 = 24 cm^2 $
=> $S_{MDN} = 24: \frac{7}{3} = \dfrac{72}{7} cm^2 $
