Ta có hàm số
$$y = \dfrac{m}{3} x^3 + (1-m)x^2 +3(m-2) x + 1$$
Khi đó, đạo hàm của hàm số là
$$y' = m x^2 + 2(1-m)x + 3(m-2)$$
Để hso có 2 cực trị $x_1, x_2$ thì ptrinh $y' = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là $\Delta' >0$. Ta có
$$\Delta' = (1-m)^2 -m.3.(m-2) = -2m^2 +4m +1$$
Vậy để $\Delta' >0$ thì $-2m^2 + 4m + 1 > 0$ hay $\dfrac{2-\sqrt{6}}{2} < m < \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}$.
Khi đó, hai nghiệm của ptrinh là
$$x_1= \dfrac{1-m-\sqrt{-2m^2 + 4m + 1}}{m}, x_2 = \dfrac{1-m+\sqrt{-2m^2 + 4m + 1}}{m}$$
THeo đề bài ta có $x_1 + 2x_2 = 2$ hay $(x_1 + x_2) + x_2 = 2$.
Áp dụng Viet và nghiệm $x_2$ ta có
$$\dfrac{2(m-1)}{m} + \dfrac{1-m+\sqrt{-2m^2 + 4m + 1}}{m} = 2$$
Quy đồng 2 vế ta có
$$2(m-1) + 1-m + \sqrt{-2m^2 + 4m + 1} = 2m$$
$$<-> -1-m = -\sqrt{-2m^2 + 4m + 1}$$
$$<->m+1 = \sqrt{-2m^2 + 4m + 1}$$
ĐK: $m \geq 1$
Bình phương 2 vế ta có
$$m^2 + 2m + 1 = -2m^2 + 4m + 1$$
$$<-> 3m^2 -2m = 0$$
$$<-> m(3m-2) = 0$$
Vậy $m = 0$ hoặc $m = \dfrac{3}{2}$. Ta thấy cả 2 nghiệm đều thỏa mãn đk.
Vậy $m = 0$ hoặc $m = \dfrac{3}{2}$.
