Giải thích các bước giải:

Ta có:

$M=\dfrac{a^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\dfrac{b^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\dfrac{c^4}{(c+d)(c^2+d^2)}+\dfrac{d^4}{(d+a)(d^2+a^2)}$

$N=\dfrac{b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\dfrac{c^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\dfrac{d^4}{(c+d)(c^2+d^2)}+\dfrac{a^4}{(d+a)(d^2+a^2)}$

$\to M-N=\dfrac{a^4-b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\dfrac{b^4-c^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\dfrac{c^4-d^4}{(c+d)(c^2+d^2)}+\dfrac{d^4-a^4}{(d+a)(d^2+a^2)}$

$\to M-N=\dfrac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{(a+b)(a^2+b^2)}+\dfrac{(b-c)(b+c)(b^2+c^2)}{(b+c)(b^2+c^2)}+\dfrac{(c-d)(c+d)(c^2+d^2)}{(c+d)(c^2+d^2)}+\dfrac{(d-a)(d+a)(d^2+a^2)}{(d+a)(d^2+a^2)}$

$\to M-N=a-b+b-c+c-d+d-a$

$\to M-N=0$

$\to M=N$

$\to 2M=M+N$

$\to 2M=\dfrac{a^4+b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\dfrac{b^4+c^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\dfrac{c^4+d^4}{(c+d)(c^2+d^2)}+\dfrac{d^4+a^4}{(d+a)(d^2+a^2)}$

$\to 2M\ge \dfrac{\dfrac12(a^2+b^2)^2}{(a+b)(a^2+b^2)}+\dfrac{\dfrac12(b^2+c^2)^2}{(b+c)(b^2+c^2)}+\dfrac{\dfrac12(c^2+d^2)^2}{(c+d)(c^2+d^2)}+\dfrac{\dfrac12(d^2+a^2)^2}{(d+a)(d^2+a^2)}$

$\to 2M\ge \dfrac{\dfrac12(a^2+b^2)}{a+b}+\dfrac{\dfrac12(b^2+c^2)}{b+c}+\dfrac{\dfrac12(c^2+d^2)}{c+d}+\dfrac{\dfrac12(d^2+a^2)}{d+a}$

$\to 2M\ge \dfrac{\dfrac12\cdot \dfrac12(a+b)^2}{a+b}+\dfrac{\dfrac12\cdot \dfrac12(b+c)^2}{b+c}+\dfrac{\dfrac12\cdot \dfrac12(c+d)^2}{c+d}+\dfrac{\dfrac12\cdot \dfrac12(d+a)^2}{d+a}$

$\to 2M\ge \dfrac14(a+b)+\dfrac14(b+c)+\dfrac14(c+d)+\dfrac14(d+a)$

$\to M\ge \dfrac{a+b+c+d}{4}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=d$

Đáp án + giải thích các bước giải:

Bài 1: 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng `(a+b)^2<=2(a^2+b^2)`

`->(a+b)^2(a^2+b^2)<=2(a^2+b^2)(a^2+b^2)=2(a^2+b^2)^2<=2.2(a^4+b^4)=4(a^4+b^4)`

`->(a+b)(a^2+b^2)<=(4(a^4+b^4))/(a+b)`

`-> \sum (a^4+b^4)/((a+b)(a^2+b^2))>=\sum (a^4+b^4)/((4(a^4+b^4))/(a+b))=\sum (a+b)/4`

`->\sum (a^4+b^4)/((a+b)(a^2+b^2)) +\sum (a^4-b^4)/((a+b)(a^2+b^2)) >=\sum (a+b)/4+\sum (a^4-b^4)/((a+b)(a^2+b^2))`

`->\sum(2a^4)/((a+b)(a^2+b^2))>=\sum (a+b)/4 +\sum ((a^2+b^2)(a-b)(a+b))/((a+b)(a^2+b^2))=\sum (a+b)/4 +\sum (a-b)=\sum (5a-3b)/4`

`->\sum(2a^4)/((a+b)(a^2+b^2))>=\(sum2a)/4=(\suma)/2`

`->\sum(a^4)/((a+b)(a^2+b^2))>=(\suma)/4`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c=d`

Bài 2:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`2\sum a/(bc)>=2. \sum 2\sqrt{(ab)/(abc^2)}=2\sum 2/c =\sum 4/c` `->\sum a/(bc)>=\sum 2/c=2\sum1/a`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c`

Bài 3: 

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`x^3/(x^2+xy+y^2)=x-(x^2y+xy^2)/(x^2+xy+y^2)>=x-(x^2y+xy^2)/(xy+2xy)=x-(xy(x+y))/(3xy)=x-(x+y)/3=(2x-y)/3 `

Dấu bằng xảy ra khi `x=y`

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`\sum a^3/(a^2+ab+b^2)=\suma-\sum(a^2b+ab^2)/(a^2+ab+b^2)>=\suma-\sum(a^2b+ab^2)/(ab+2ab)=\suma-\sum(ab(a+b))/(3ab)=\suma-\sum(a+b)/3=\sum(2a-b)/3=(\suma)/3 `

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c`