Đáp án: $P\ge 2019\sqrt{5}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$2a^2+ab+2b^2=\dfrac34(a-b)^2+\dfrac54(a+b)^2\ge\dfrac54(a+b)^2$
$\to\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}(a+b)(1)$
Tương tự :
$\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}(b+c)(2)$
$\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}(c+a)(3)$
Cộng vế với vế của $(1), (2) ,(3)$ ta được:
$P\ge (a+b+c)\sqrt{5}$
$\to P\ge 2019\sqrt{5}$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=673$