Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
Do $a,b,c>0$ nên $\begin{array}{l}
A = \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{a + c}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \\
= \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{a(b + c)}}} + \sqrt {\frac{{{b^2}}}{{b(a + c)}}} + \sqrt {\frac{{{c^2}}}{{c(a + b)}}} \\
= \frac{a}{{\sqrt {a(b + c)} }} + \frac{b}{{\sqrt {b(a + c)} }} + \frac{c}{{\sqrt {c(a + b)} }}
\end{array}$
Áp dụng BĐT Côsi:
$\begin{array}{l}
\sqrt {a(b + c)} \le \frac{{a + b + c}}{2}\\
\sqrt {b(a + c)} \le \frac{{a + b + c}}{2}\\
\sqrt {c(a + b)} \le \frac{{a + b + c}}{2}
\end{array}$
Khi đó: $A \ge \dfrac{a}{{\dfrac{{a + b + c}}{2}}} + \dfrac{b}{{\dfrac{{a + b + c}}{2}}} + \dfrac{c}{{\dfrac{{a + b + c}}{2}}} = 2$
Dấu bằng xảy ra khi:
$\left\{ \begin{array}{l}
a = b + c\\
b = a + c\\
c = a + b
\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 0$(Vô lí)
Suy ra $A>2$
