Do $M$ thuộc đường thẳng $d: 4x + 3y = 1$
Suy ra điểm $M$ có tọa độ $M \left( x, \dfrac{1-4x}{3} \right)$.
Khi đó, khoảng cách từ O đến M là
$OM^2 = x^2 + \dfrac{(1 - 4x)^2}{9}$
$= x^2 + \dfrac{16x^2 -8x + 1}{9}$
$= \dfrac{25}{9}x^2 - \dfrac{8}{9} x + \dfrac{1}{9}$
$= \left( \dfrac{5x}{3} \right)^2 - 2 . \dfrac{5x}{3} . \dfrac{4}{15} + \dfrac{16}{225} + \dfrac{9}{225}$
$= \left( \dfrac{5x}{3} - \dfrac{4}{15} \right)^2 + \dfrac{9}{225}$
Ta có
$OM^2 = \left( \dfrac{5x}{3} - \dfrac{4}{15} \right)^2 + \dfrac{9}{225} \geq 0 + \dfrac{9}{225}$
Suy ra
$OM \geq \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{5x}{3} = \dfrac{4}{15}$ hay $x = \dfrac{4}{25}$
Vậy $M = \left( \dfrac{4}{25}, \dfrac{3}{25} \right)$
Vậy khoảng cách nhỏ nhất từ O đến M là $\dfrac{1}{5}$ khi $M = \left( \dfrac{4}{25}, \dfrac{3}{25} \right)$.
