Đáp án:
$C.\ 1$
Giải thích các bước giải:
$\quad y =\vert x^3 - (2m+1)x^2 + mx + m\vert\qquad (*)$
$(*)$ có $5$ điểm cực trị
$\Leftrightarrow y = x^3 - (2m+1)x^2 + mx + m$ có $2$ cực trị trái dấu
hay $y = x^3 - (2m+1)x^2 + mx + m$ cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt
Ta có:
$\quad x^3 - (2m+1)x^2 + mx + m = 0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x^2 - 2mx - m)= 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 1\\x^2 -2mx - m = 0\qquad (**)\end{array}\right.$
Phương trình có $3$ nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow (**)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_{(**)}' > 0\\1^2- 2m.1 - m \ne 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m^2 + m > 0\\1 - 3m \ne 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{array}{l}m > 0\\m < -1\end{array}\right.\\m \ne \dfrac13\end{cases}$
Do $m\in [-2021;2021];\ m\in\Bbb Z$
nên $m\in \{-2021;-2020;\dots;-3;-2;1;2;3;\dots;2020;2021\}$
Vậy $\displaystyle\sum m = 1$
