Đáp án:
$19. B$
$20. D$
$21. A$
Giải thích các bước giải:
$19) \, x^4 -10x^2 + m = 0$ $(1)$
Đặt $t = x^2$, phương trình trở thành:
$t^2 - 10t + m = 0$ $(2)$
$(1)$ có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm dương phân biệt $t_2 > t_1 > 0$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta' > 0\\P>0\\S>0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 5^2 - m > 0\\10 > 0\\m >0\end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < 5$
Khi đó $(1)$ có 4 nghiệm phân biệt: $-\sqrt{t_2}; -\sqrt{t_1}; \sqrt{t_1}; \sqrt{t_2}$
Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng
$\Leftrightarrow \begin{cases}-\sqrt{t_2} + \sqrt{t_1} = -2\sqrt{t_1}\\-\sqrt{t_1} + \sqrt{t_2} = 2\sqrt{t_1}\end{cases} \Leftrightarrow \sqrt{t_2} = 3\sqrt{t_1} \Leftrightarrow t_2 = 9t_1$
Theo Viète, ta được:
$\begin{cases}t_1 + t_2 = 10\\t_1t_2 = m\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}10t_1 = 10\\9t_1^2 = m\end{cases}$
$\Rightarrow m = 9$
$\\$
$20) \, x^3 - 3x^2 - x + m^2 -1 =0$
Ba nghiệm lập thành một cấp số cộng
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 + x_3 = 2x_2\\x_1 + x_2 + x_3 = 3\end{cases} \Leftrightarrow x_2 = 1$
Thay $x_2 = 1$ vào phương trình đã cho, ta được:
$1 - 3 - 1 + m^2 - 1 = 0$
$\Leftrightarrow m^2 = 4$
$\Leftrightarrow m = \pm 2$
$\\$
$21) \, x^3 - 9x^2 +23x + m^3 - 4m^2 + m - 9 = 0$
Phương trình có 3 nghiệm lập thành một cáp số cộng
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 + x_3 = 2x_2\\x_1 + x_2 + x_3 = 3\end{cases} \Leftrightarrow x_2 = 1$
Thay $x_2 = 1$ vào phương trình đã cho, ta được:
$1 - 9 + 23 + m^3 - 4m^2 + m - 9 = 0$
$\Leftrightarrow m^3 - 4m^2 + m + 6 = 0$
$\Leftrightarrow (m+1)(m-2)(m-3) = 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = -1\\m = 2\\m = 3\end{array} \right.$
$\Rightarrow P = m_1^3 + m_2^3 + m_3^3 = (-1)^3 + 2^3 + 3^3 = 34$
