Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng $BĐT$ Cô si cho 3 bộ 2 số $: (3x; y + 2z); (3y; z + 2x); (3z; x + 2y)$ ta có :
$ 2\sqrt[]{3x(y + 2z)} ≤ 3x + (y + 2z) = 3x + y + 2z ⇔ \frac{1}{2\sqrt[]{3x(y + 2z)}} ≥ \frac{1}{3x + y + 2z}$
$ 2\sqrt[]{3y(z + 2x)} ≤ 3y + (z + 2x) = 3y + z + 2x ⇔ \frac{1}{2\sqrt[]{3y(z + 2x)}} ≥ \frac{1}{3y + z + 2x}$
$ 2\sqrt[]{3z(x + 2y)} ≤ 3z + (x + 2y) = 3z + x + 2y ⇔ \frac{1}{2\sqrt[]{3z(x + 2y)}} ≥ \frac{1}{3z + x + 2y}$
Dấu $'=' $ xảy ra khi $ 3x= y + 2z; 3y = z + 2x; 3z = x + 2y (1)$
Áp dụng $ BĐT$ Cô si cho 2 bộ 3 số $: a, b, c >0$ và $ \frac{1}{a}; \frac{1}{b}; \frac{1}{c} >0 $:
$(a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) ≥ (3\sqrt[3]{abc}).(3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}) = 9 (*)$
Ta có $: B = \frac{1}{\sqrt[]{x(y + 2z)}} + \frac{1}{\sqrt[]{y(z + 2x)}} + \frac{1}{\sqrt[]{z(x + 2y)}}$
$ ⇒ 3B = 6\sqrt[]{3}.(\frac{B}{2\sqrt[]{3}}) = (6x + 6y + 6z).[\frac{1}{2\sqrt[]{3x(y + 2z)}} + \frac{1}{2\sqrt[]{3y(z + 2x)}} + \frac{1}{2\sqrt[]{3z(x + 2y)}}]$
$ ≥ [(3x + y + 2z) + (3y + z + 2x) + (3z + x + 2y)].(\frac{1}{3x + y + 2z} + \frac{1}{3y + z + 2x} + \frac{1}{3z + x + 2y}) ≥ 9$ ( Theo $(*)$)
Dấu $'=' $ xảy ra khi $ 3x + y + 2z = 3y + z + 2x = 3z + x + 2y (2)$
$ ⇒ B ≥ 3 $ Từ $(1); (2) ⇒ $ Dấu $'='$ xảy ra khi $ x = y = z = \frac{\sqrt[]{3}}{3} $
