a) Xét (O) có: D là điểm chính giữa cung BC mà OD cắt BC tại I
⇒ I là trung điểm BC và OD ⊥ BC tại I (tính chất)
Có BH ⊥ AD ⇒ ∠BHD = 90° ⇒ ∆BHD vuông tại H
⇒ B, H, D ∈ đường tròn đường kính BD (1)
Có OD ⊥ BC tại I (cmt) ⇒ ∠BID = 90° ⇒ ∆BID vuông tại I
⇒ B, I, D ∈ đường tròn đường kính BD (2)
Từ (1) và (2) ⇒ B, H, I, D ∈ đường tròn đường kính BD hay tứ giác BHID nội tiếp đường tròn đường kính BD (đpcm)
.
b) Có D là điểm chính giữa cung BC ⇒ Cung BD = Cung CD
⇒ ∠BAD = ∠CAD (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau)
Xét (O) có ∠ABE = ∠ACE (góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
Xét ∆ABH vuông tại H (BH⊥AD) có: ∠ABE = 90° - ∠BAD
⇔ ∠ACE = 90° - ∠CAD (3)
Có ∠EKC = ∠AKH (2 góc đối đỉnh)
Xét ∆AHK vuông tại H có: ∠AKH = 90° - ∠CAD
⇔ ∠EKC = 90° - ∠CAD (4)
Từ (3) và (4) ⇒ ∠ACE = ∠EKC
Hấy ∠KCE = ∠EKC ⇒ ∆EKC cân tại E