Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\Delta ABC$ cân ở $A$ nên ta có: $\widehat {ABC} = \widehat {ACB};AB = AC$

$ \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ICE};AB = IC\left( { = AC} \right)$

Khi đó:

$\left\{ \begin{array}{l}
AB = IC\\
\widehat {ABD} = \widehat {ICE}\\
BD = CE
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ICE\left( {c.g.c} \right)$

b) Ta có:

$\Delta ABD = \Delta ICE$ $ \Rightarrow AD = IE \Rightarrow AD + AE = IE + AE\left( 1 \right)$

Mà $AB + AC = CI + AC = AI\left( 2 \right)$

Áp dụng BĐT tam giác cho tam giác AEI ta có: $AE+IE>AI(3)$

Từ $(1),(2),(3)$ ta có: $AB+AC<AD+AE$

c) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {MDB} = \widehat {NEC}\left( { = {{90}^0}} \right)\\
BD = CE\\
\widehat {MBD} = \widehat {NCE}\left( {\widehat {ABC} = \widehat {ACB}} \right)
\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \Delta MDB = \Delta NEC\left( {g.c.g} \right)\\
 \Rightarrow MD = NE
\end{array}$

Khi đó:

$\left\{ \begin{array}{l}
MD = NE\\
\widehat {MDO} = \widehat {NEO}\left( { = {{90}^0}} \right)\\
DO = EO\left( { = \dfrac{{DE}}{2}} \right)
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \Delta MDO = \Delta NEO\left( {c.g.c} \right)$

$ \Rightarrow \widehat {MOD} = \widehat {NOE};MO=NO$

$ \Rightarrow M,O,N$ thẳng hàng và $O$ là trung điểm của MN$

Xét tam giác $AMN$ có:

$O$ là trung điểm của $MN$ và $AG = \dfrac{2}{3}AO$

$\to G$ là trọng tâm của tam giác $AMN$

$\to NG$ đi qua trung điểm của $AM$

d) Ta có:

$\Delta MDB = \Delta NEC \to BM=CN\to AB-BM=CI-CN\to AM=NI $

Từ câu b ta có: $AB+AC=AI$ 

Lại có: $AI=AN+NI=AN+AM$

Như vậy $AB+AC=AM+AN(4)$

Ta có:

$O$ là trung điểm của $MN$ $\to MN=2OM$

Và do $MD\bot BC=D$ $\toOM > OD > \dfrac{{BC}}{2} \Rightarrow 2OM > BC \Rightarrow MN > BC(5)$

Từ $(4),(5)$ $\to AB+AC+BC<AM+AN+MN$

Vậy ta có đpcm.