`1,` Vì `21^x` luôn có tận cùng là `1` nên `21^9 + 21^8 + 21^7 + .... + 21 + 1` có tận cùng là `1 + 1 + .... + 1 = 1 xx 10 = 10`
Do `M` có tận cùng là `0` nên `M vdots 2 ; M vdots 5 (` Điều phải chứng minh `)`
`2,` Ta có `: N = 6 + 6^2 + 6^3 + .... + 6^2020`
`N = ( 6 + 6^2 ) + ( 6^3 + 6^4 ) + .... + ( 6^2019 + 6^2020 )`
`N = 6 . ( 1 + 6 ) + 6^3. ( 1 + 6 ) + .... + 6^2019 . ( 1 + 6 )`
`N = ( 1 + 6 ) . ( 6 + 6^3 + .... + 6^2019 )`
`N = 7 . ( 6 + 6^3 + .... + 6^2019 ) vdots 7 ( 1 )`
Lại có : `N = 6 + 6^2 + 6^3 + .... + 6^2020`
`6N = 6^2 + 6^3 + 6^4 + .... + 6^2021`
`6N - N = ( 6^2 + 6^3 + 6^4 + .... + 6^2021 ) - ( 6 + 6^2 + 6^3 + .... + 6^2020 )`
`5N = 6^2021 - 6`
`N = ( 6^2021 - 6 ) : 5`
Vì `6^2021 vdots 9 ; 6` không `vdots 9` nên `6^2021 - 6` không `vdots 9` hay `( 6^2021 - 6 ) : 5` không `vdots 9 ( 2 )`
Từ `( 1 )` và `( 2 ) , ` ta có `N vdots 7 ; N` không `vdots 9 (` Điều phải chứng minh `)`
`3,` Ta có `: P = 4 + 4^2 + 4^3 + .... + 4^23 + 4^24`
`P = ( 4 + 4^2 ) + ( 4^3 + 4^4 ) + .... + ( 4^23 + 4^24 )`
`P = 1 . ( 4 + 4^2 ) + 4^2 . ( 4 + 4^2 ) + .... + 4^22 . ( 4 + 4^2 )`
`P = ( 4 + 4^2 ) . ( 1 + 4^2 + .... + 4^22 )`
`P = 20 . ( 1 + 4^2 + .... + 4^22 ) vdots 20 ( 1 )`
Lại có `: P = 4 + 4^2 + 4^3 + .... + 4^23 + 4^24`
`P = ( 4 + 4^2 + 4^3 ) + .... + ( 4^22 + 4^23 + 4^24 )`
`P = 4 . ( 1 + 4 + 4^2 ) + .... + 4^22 . ( 1 + 4 + 4^2 )`
`P = ( 1 + 4 + 4^2 ) . ( 4 + .... + 4^22 )`
`P = 21 . ( 4 + .... + 4^22 ) vdots 21 ( 2 )`
Từ `( 1 )` và `( 2 ) , ta có : P vdots 20 ; P vdots 21 (` Điều phải chứng minh `)`
`4, Q = 6 + 6^2 + 6^3 + .... + 6^99`
`Q = ( 6 + 6^2 + 6^3 ) + .... + ( 6^97 + 6^98 + 6^99 )`
`Q = 6 . ( 1 + 6 + 6^2 ) + .... + 6^97 . ( 1 + 6 + 6^2 )`
`Q = ( 1 + 6 + 6^2 ) . ( 1 + .... + 6^97 )`
`Q = 43 . ( 1 + .... + 6^97 ) vdots 43 (` Điều phải chứng minh `)`
