a)
$\Delta ACB$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính
$\to CA\bot CB$
Xét tứ giác $IECB$, ta có:
$\widehat{EIB}=\widehat{ECB}=90{}^\circ $
$\to \widehat{EIB}+\widehat{ECB}=180{}^\circ $
$\to IECB$ là tứ giác nội tiếp
b)
Vì dây cung $MN$ vuông góc đường kính $AB$
$\to A$ là điểm chính giữa cung $MN$
$\to \overset\frown{AM}=\overset\frown{AN}$
$\to \widehat{ACM}=\widehat{AME}$
Xét $\Delta ACM$ và $\Delta AME$, ta có:
$\widehat{ACM}=\widehat{AME}\,\,\,\left( cmt \right)$
$\widehat{MAC}$ là góc chung
$\to \Delta ACM\backsim\Delta AME\,\,\,\left( g.g \right)$
$\to \dfrac{AC}{AM}=\dfrac{AM}{AE}$
$\to A{{M}^{2}}=AE.AC$
c)
Vì $A{{M}^{2}}=AE.AC\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to AM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CME$
$\Delta AMB$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính
$\to AM\bot MB$
Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta CME$
$\to AM\bot MK$
Mà $AM\bot MB\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to MK\equiv MB$
$\to M,K,B$ thẳng hàng
Khi đó khoảng cách từ $N$ đến đường tròn ngoại tiếp $\Delta CME$ là đoạn $NK$ phải nhỏ nhất
$NK$ nhỏ nhất khi $NK\bot MB$
Vậy $C$ là giao điểm của $\left( O \right)$ và $\left( K \right)$ sao cho $NK\bot MB$ thì $NK$ nhỏ nhất
