$x^2-2mx+m^2-m=0$ (1)
$\Delta'=(-m)^2-(m^2-m)$
$=m^2-m^2+m$
$=m$
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$
$⇔\Delta'>0$
$⇔m>0$
Theo hệ thức Vi-ét:
$\begin{cases}x_1+x_2=2m\,(2)\\x_1x_2=m^2-m\,(3)\end{cases}$
a) Theo đề bài: $x_1=3x_2⇔x_1-3x_2=0$
Kết hợp phương trình (2) và phương trình $x_1-3x_2=0$ ta được:
$\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1-3x_2=0\end{cases}$
$⇔\begin{cases}4x_2=2m\\x_1+x_2=2m\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_2=\dfrac{m}{2}\\x_1+\dfrac{m}{2}=2m\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_2=\dfrac{m}{2}\\x_1=\dfrac{3m}{2}\end{cases}$
Thay $\begin{cases}x_1=\dfrac{3m}{2}\\x_2=\dfrac{m}{2}\end{cases}$ vào phương trình (3) ta được:
$\dfrac{3m}{2}.\dfrac{m}{2}=m^2-m$
$⇔\dfrac{3m^2}{4}=m^2-m$
$⇔4m^2-4m=3m^2$
$⇔m^2-4m=0$
$⇔m(m-4)=0$
\(⇔\left[ \begin{array}{l}m=0\\m-4=0\end{array} \right.\)
\(⇔\left[ \begin{array}{l}m=0(KTM)\\m=4(TM)\end{array} \right.\)
Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $x_1=3x_2$ thì $m=4$
b) Kết hợp phương trình (2) và phương trình $x_1+3x_2=6$ ta được:
$\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1+3x_2=6\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=3m-3\\x_2=\dfrac{6-2m}{2}\end{cases}$
Thay $\begin{cases}x_1=3m-3\\x_2=\dfrac{6-2m}{2}\end{cases}$ vào phương trình (3) ta được:
$(3m-3).\dfrac{6-2m}{2}=m^2-m$
$⇔18m-6m^2-18+6m=2m^2-2m$
$⇔8m^2-26m+18=0$
$⇒4m^2-13m+9=0$
$⇔4m^2-4m-9m+9=0$
$⇔4m(m-1)-9(m-1)=0$
$⇔(m-1)(4m-9)=0$
\(⇔\left[ \begin{array}{l}m-1=0\\4m-9=0\end{array} \right.\)
\(⇔\left[ \begin{array}{l}m=1(TM)\\m=\dfrac{9}{4}(TM)\end{array} \right.\)
Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $x_1+3x_2=6$ thì $m=1$ hoặc $m=\dfrac{9}{4}$
