Đáp án:
$B.\, \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Giải thích các bước giải:
$∆SAB$ đều cạnh $AB = a$
Gọi $M$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow SM\perp AB;\, SM =\dfrac{a\sqrt3}{2}$
Ta lại có:
$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\\(SAB)\cap (ABCD) = AB\\SM\perp AB\\SM\subset (SAB)\end{cases}$
$\Rightarrow SM\perp (ABCD)$
$\Rightarrow SM\perp CD$
Gọi $N$ là trung điểm $CD$
$\Rightarrow MN = a;\, MN//AD//BC$ (đường trung bình)
$\Rightarrow MN\perp CD$
mà $SM\perp CD\quad (cmt)$
nên $CD\perp (SMN)$
Trong $mp(SMN)$ kẻ $MH\perp SN\quad (H\in SN)$
$\Rightarrow CD\perp MH$
$\Rightarrow MH\perp (SCD)$
$\Rightarrow MH= d(M;(SCD))$
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆SMN$ vuông tại $M$ đường cao $MH$ ta được:
$\dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{1}{SM^2}+\dfrac{1}{MN^2}$
$\Rightarrow MH =\dfrac{SM.MN}{\sqrt{SM^2 + MN^2}}$
$\Rightarrow d(M;(SCD))=\dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot a}{\sqrt{\dfrac{3a^2}{4} + a^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Mặt khác:
$AB//CD$
$\Rightarrow AB//(SCD)$
$\Rightarrow d(AB;SD) = d(AB;(SCD)) = d(M;(SCD))$
$\Rightarrow d(AB;SD)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
