Đáp án:
$A. \, x = \dfrac{2\sqrt2}{5}$
Giải thích các bước giải:
Đặt tên cái hình vẽ như ảnh đính kèm
Ta có $S_1S_2S_3S_4$ là hình vuông cạnh bằng $1$ với tâm $O$
$\Rightarrow OS_1 = \dfrac{\sqrt2}{2}$
Đáy $ABCD$ cạnh $x$, tâm $O$ và $M$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow OM = \dfrac{x}{2}$
$\Rightarrow S_1M = \dfrac{\sqrt2 - x}{2}$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$SM^2 = SO^2 + OM^2$
$\Rightarrow SO =\sqrt{SM^2 - OM^2}=\sqrt{\dfrac{(\sqrt2 - x)^2}{4} - \dfrac{x^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{2- 2x\sqrt2}}{2}$
Do đó:
$V_{S_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.x^2.\dfrac{\sqrt{2- 2x\sqrt2}}{2} =\dfrac{1}{6}.x^2\sqrt{2 - 2x\sqrt2}$
$V_{\max} \Leftrightarrow x^2\sqrt{2 - 2x\sqrt2} \max$
Xét $f(x) = x^2\sqrt{2 - 2x\sqrt2}$
$f'(x) = \dfrac{2x\sqrt2 - 5x^2}{\sqrt{1 - x\sqrt2}}$
$f'(x) = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{2\sqrt2}{5}\end{array}\right.$
$\Rightarrow \max f(x) = f\left(\dfrac{2\sqrt2}{5}\right) = \dfrac{8\sqrt{10}}{125}$
Vậy $x = \dfrac{2\sqrt2}{5}$
