Đáp án:
Không tồn tại giới hạn tại $(0;0)$
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
1)\quad z = \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\\
\text{Đặt}\ y = tx\\
\text{Ta được:}\\
\quad z = \dfrac{x^2 - t^2x^2}{x^2 + t^2x^2}\\
\to z = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}\\
+)\quad t \to 0:\ z \to 1\\
+)\quad t \to \infty:\ z \to -1\\
\text{Vậy $z$ không có giới hạn tại (0;0)}\\
3)\quad z = \dfrac{x^4 - y^2}{x^4 + y^2}\\
\text{Giả sử:}\\
\quad \dfrac{x^4 - y^2}{x^4 + y^2} = k\\
\Leftrightarrow (k-1)x^4 + (k+1)y^2 = 0\\
\text{Đặt}\ t = x^2\ \ (t \geqslant 0)\\
\text{Phương trình trở thành:}\\
\quad (k-1)t^2 + (k+1)y^2 = 0\quad (*)\\
(*)\ \text{có nghiệm}\\
\Leftrightarrow \Delta ' \geqslant 0\\
\Leftrightarrow -(k-1)(k+1)y^2 \geqslant 0\\
\Leftrightarrow 1 - k^2 \geqslant 0\\
\Leftrightarrow - 1\leqslant k < 1\\
\Rightarrow \text{Có một tập các giá trị k thỏa mãn}\\
\text{Vậy $z$ không tồn tại giới hạn tại (0;0)}
\end{array}\)
