Đáp án:
105) $C.\, \dfrac{8\pi a^2}{3}$
106) $D.\, 2\pi a^2$
107) $A.\,\dfrac{\pi h^2\sqrt{10}}{3}$
Giải thích các bước giải:
105) Ta có: $∆ABC$ đều, đường cao $AH$
$\to \begin{cases}AH =\dfrac{AB\sqrt3}{2}\\HB = HC =\dfrac{AB}{2}\end{cases}$
$\to \begin{cases}AB = \dfrac{2AH}{\sqrt3}=\dfrac{4a}{\sqrt3}\\HB = HC =\dfrac{2a}{\sqrt3}\end{cases}$
Khi quay $∆ABC$ quanh đường cao $AH$ ta được khối tròn xoay dạng hình nón, với:
- Chiều cao $h = AH = 2a$
- Đường tròn đáy tâm $H$, bán kính $r = HB = HC=\dfrac{2a}{\sqrt3}$
- Đường sinh $l = AB = \dfrac{4a}{\sqrt3}$
Khi đó:
$S_{xq}=\pi.r.l = \pi\cdot\dfrac{2a}{\sqrt3}\cdot\dfrac{4a}{\sqrt3}=\dfrac{8\pi a^2}{3}$
106) Ta có:
$C=2\pi.r$
$\Leftrightarrow 2\pi a = 2\pi.r$
$\Leftrightarrow r = a$
$\Rightarrow S_{xq}=\pi.r.l =\pi.a.2a= 2\pi a^2$
107) Ta có $∆OAB$ vuông tại $O\quad (gt)$
$OA = OB = r$
Xét hình chóp $O.SAB$ có $OS,\, OA, \, OB$ đôi một vuông góc
Ta có công thức khoảng cách:
$\dfrac{1}{d^2(O;(SAB))}=\dfrac{1}{SO^2}+\dfrac{1}{OA^2} +\dfrac{1}{OB^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{d^2(O;(P))}=\dfrac{1}{h^2} +\dfrac{2}{r^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\left(\dfrac{h}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{h^2} +\dfrac{2}{r^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{r^2}= \dfrac{3}{h^2}$
$\Leftrightarrow r^2 = \dfrac{2h^2}{3}$
$\Rightarrow r =\dfrac{h\sqrt2}{\sqrt3}$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$SA^2 = SO^2 + OA^2$
$\Rightarrow SA =\sqrt{SO^2 + OA^2}$
$\Rightarrow l=\sqrt{h^2 + r^2}=\sqrt{h^2 + \dfrac{2h^2}{3}}=\dfrac{h\sqrt5}{\sqrt3}$
Khi đó:
$S_{xq}=\pi.r.l =\pi\cdot\dfrac{h\sqrt2}{\sqrt3}\cdot\dfrac{h\sqrt5}{\sqrt3}=\dfrac{\pi h^2\sqrt{10}}{3}$
