Đáp án:
$1)\quad \displaystyle\iint\limits_Dxy^2dxdy =\dfrac{244}{15}$
$2)\quad \displaystyle\iint\limits_Dxydxdy = -2$
Giải thích các bước giải:
$1)\quad I = \displaystyle\iint\limits_Dxy^2dxdy$
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\quad x = 2 - x$
$\Leftrightarrow x = 1$
Do đó miền $D$ được biểu diễn:
$D =\{(x,y): 1 \leqslant x \leqslant 3;\ 2 - x \leqslant y \leqslant x\}$
Khi đó ta được:
$\quad I =\displaystyle\iint\limits_Dxy^2dxdy$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_1^3dx\displaystyle\int\limits_{2-x}^xxy^2dy$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_1^3\left(\dfrac{xy^3}{3}\Bigg|_{2-x}^x\right)dx$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_1^3\left(\dfrac23x^4 - 2x^3 + 4x^2 - \dfrac83x\right)dx$
$\Leftrightarrow I = \left(\dfrac{2}{15}x^5 - \dfrac12x^4 + \dfrac43x^3 - \dfrac43x^2\right)\Bigg|_1^3$
$\Leftrightarrow I = \dfrac{244}{15}$
$2)\quad I = \displaystyle\iint\limits_Dxydxdy$
Đặt $\begin{cases}x= r.\cos\varphi\\y = r.\sin\varphi\end{cases}$
Ta được:
$\quad x^2 + y^2 \leqslant 4$
$\Leftrightarrow r^2\leqslant 4$
$\Leftrightarrow 0 \leqslant r \leqslant 2$
Trên đường tròn lượng giác, $Acgument$ thoả mãn $x\geqslant 0;\ y\leqslant 0$ là:
$-\dfrac{\pi}{2}\leqslant \varphi \leqslant 0$
Do đó miền $D$ được biểu diễn:
$D =\left\{(r,\varphi): 0 \leqslant r \leqslant 2;\ -\dfrac{\pi}{2}\leqslant \varphi \leqslant 0\right\}$
Ta được:
$\quad I = \displaystyle\iint\limits_Dxydxdy$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{2}}^0d\varphi\displaystyle\int\limits_0^2r^2\sin\varphi\cos\varphi rdr$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{2}}^0\left(\dfrac{r^4}{4}\sin\varphi\cos\varphi\Bigg|_0^2\right)d\varphi$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{2}}^04\sin\varphi\cos\varphi d\varphi$
$\Leftrightarrow I= 2\sin^2\varphi\Bigg|_{-\tfrac{\pi}{2}}^0$
$\Leftrightarrow I = -2$
