Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\widehat {AMI} = \widehat {MAN} = \widehat {ANI} = {90^0}$
$\to AMIN$ là hình chữ nhật.
b) Ta có:
$D,I$ đối xứng với nhau qua $N$
$\to N$ là trung điểm của $DI$
Lại có:
$IN\bot AC=N\to IN//AB$; $I$ là trung điểm của $BC$ và $N\in AC$
$\to N $là trung điểm của $AC$
Như vậy: $N$ là giao điểm đồng thời là trung điểm của $2$ đường $AC$ và $DI$
$\to ADCI$ là hình hình hành.
Mà $AC\bot DI=N$
$\to ADCI$ là hình thoi.
c) Gọi $E$ là giao điểm của $AI$ và $BN$
Ta có:
$ADCI$ là hình thoi $\to CD//AI\to DK//EI$ và $AI=CD(1)$
$\to \widehat{KDN}=\widehat{EIN}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {KDN} = \widehat {EIN}\\
DN = IN\\
\widehat {KND} = \widehat {ENI}\left( {dd} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta KDN = \Delta EIN\left( {g,c,g} \right)\\
\Rightarrow DK = IE (2)
\end{array}$
Lại có:
$AI,BN$ là 2 trung tuyến của tam giác $ABC$ giao nhau ở $E$
$ \Rightarrow EI = \dfrac{1}{3}AI\left( 3 \right)$
Từ $(1),(2),(3)$ $\to $$DK = \dfrac{1}{3}DC$
