Ta có: $OA = OB$ (Bán kính đường tròn $(O)$)
$\to O$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ $(1)$
$MA = MB$ ($MA$ và $MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(O)$)
$\to M$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
$OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$
$AH \perp MO$
Xét $\triangle AMO$ vuông tại $A$, $AH$ là đường cao ta có:
$MA^{2} = MH.MO$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà $MA^{2} = MC.MD$ (chứng minh câu b) nên:
$MH.MO = MC.MD$
$\to \dfrac{MH}{MD} = \dfrac{MC}{MO}$
Xét $\triangle MHC$ và $\triangle MDO$ có:
$\dfrac{MH}{MD} = \dfrac{MC}{MO}$ (chứng minh trên)
$\widehat{OMD}$ là góc chung
Do đó $\triangle MHC \sim \triangle MDO$
Suy ra $\widehat{MHC} = \widehat{MDO}$
Mà $\widehat{MHC} + \widehat{CHO} = 180^{\circ}$ (hai góc kề bù) nên:
$\widehat{MDO} + \widehat{CHO} = 180^{\circ}$
Lại có $\widehat{MDO}$ và $\widehat{CHO}$ là hai góc đối nhau của tứ giác $OHCD$ nên
Tứ giác $OHCD$ nội tiếp
Do đó $\widehat{DCH} + \widehat{DOH} = 180^{\circ}$
Mà $\widehat{DOH} + \widehat{DOK} = 180^{\circ}$ (hai góc kề bù) nên
$\widehat{DCH} = \widehat{DOK}$
Mà $\widehat{DOK} = 2\widehat{DCK}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung $DK$) nên
$\widehat{DCH} = 2\widehat{DCK}$
Do đó $CK$ là tia phân giác của $\widehat{DCH}$
Có $\widehat{ICK} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà $CK$ là tia phân giác của $\widehat{DCH}$ (chứng minh trên) nên
$CI$ là tia phân giác của $\widehat{MCH}$
