Đáp án:
a) Xét ΔBAM vuông tại M và ΔBCN vuông tại N có :
+ BA = BC
+ Góc B là góc chung
=> ΔBAM = ΔBCN ( cạnh huyền - góc nhọn ).
b) Ta có : BA = BN + AN
BC = BM + CM
Mà : BA = BC ( giả thiết )
BM = BN ( do ΔBAM = ΔBCN câu a )
=> AN = CM.
Xét ΔNOA vuông tại N và ΔMOC vuông tại M có:
+ góc NOA = góc MOC (đối đỉnh)
+ AN = CM ( chứng minh trên )
=> ΔNOA = ΔMOC ( cạnh huyền - góc nhọn ).
c) Xét ΔBON và ΔBOM có :
BM = BN ( do ΔBAM = ΔBCN câu a )
OB là cạnh chung
=> ΔBON = ΔBOM ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )
=> Góc OBN = góc OBM ( 2 cạnh tương ứng )
=> BO là phân giác góc ABC.
d) Gọi D là giao điểm của AC và OH.
=> OH vuông góc AC tại D và HD = OD.
Xét ΔOCD và ΔHCD có :
HD = OD ( chứng minh trên )
Góc ODC = Góc HDC ( do OH _I_ AC )
DC là cạnh chung
=> ΔOCD = ΔHCD ( c - g - c )
=> OC = CH ( 2 cạnh tương ứng )
=> Góc OCD = Góc HCD ( 2 góc tương ứng )
=> CD là phân giác góc OCH.
Để tam giác OCH đều thì góc OCH = 60 độ
=> Góc OCD = Góc HCD = 60 độ : 2 = 30 độ
Ta có : góc BCA + góc HCD = 90 độ
Thay : góc BCA + 30 độ = 90 độ
=> góc BCA = 90 độ - 30 độ = 60 độ
=> tg ABC đều ( tính chất tam giác đều )
Vậy tam giác ABC đều thì tam giác OCH đều.
