Giải thích các bước giải:
$a\sqrt[]{1-b^2}+b\sqrt[]{1-c^2}+c\sqrt[]{1-a^2}=\frac{3}{2} $
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$:
$⇒a\sqrt[]{1-b^2} ≤ \frac{a^2+1-b^2}{2}$
Tương tự với hai vế còn lại:
$⇒b\sqrt[]{1-c^2} ≤ \frac{b^2+1-c^2}{2}$
$⇒c\sqrt[]{1-a^2} ≤ \frac{c^2+1-a^2}{2}$
Cộng vế lại:
$⇒\sum a\sqrt[]{1-b^2} ≤ \frac{a^2+1-b^2+b^2+1-c^2+c^2+1-a^2}{2}=\frac{3}{2} $
Dấu bằng xảy ra khi:
$a^2+b^2=1$
$b^2+c^2=1$
$c^2+a^2=1$
$⇔2(a^2+b^2+c^2) =3$
$⇔a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}$ (Đpcm).
