Lời giải.
Đây thường là dạng toán tìm giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất của phương trình bằng phương pháp miền giá trị (sử dụng điều kiện để tam thứ bậc hai có nghiệm, tức là `Δ≥0` hoặc `Δ'≥0`)
Trường hợp nếu bài toán sử dụng đến định lý $Vi-et$ thì có thể là giải phương trình hoặc không giải phương trình tính giá trị của một biểu thức chứa hai biến `x_1,x_2` sẵn có. Nếu trong các trường hợp đó, dường như đề bài trở nên thiếu dữ kiện.
Chi tiết:
Đặt `B={\sqrt{x}}/{x-\sqrt{x}+1}` với `x≥0`
Ta dễ chứng minh `x-\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}-1/2)^2 + 3/4>0∀x`
`\sqrt{x}≥0`
`=>B≥0` `(1)`
Ta có:
`B={\sqrt{x}}/{x-\sqrt{x}+1}`
`<=> (x-\sqrt{x}+1).B =\sqrt{x}`
`<=>x.B-\sqrt{x}.B+B-\sqrt{x}=0`
`<=>(\sqrt{x})^2 . B - \sqrt{x}. (B+1) +B=0`
Xét `Δ_{x}=[-(B+1)]^2 - 4.B. B= B^2 + 2B+ 1- 4B^2 = -3B^2+2B+1`
Để phương trình nghiệm `x` có nghiệm thì `Δ_{x}≥0<=>-3B^2+2B+1≥0`
Giải bất phương trình ta được: `-1/3 ≤x≤1` `(2)`
Kết hợp `(1)` và `(2)` ta suy ra `0≤x≤1`
Vậy giá trị nhỏ nhất của `B=0<=>x=0`
giá trị lớn nhất của `B=1<=>{\sqrt{x}}/{x-\sqrt{x}+1}=1 <=>x=1.`
