Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có $: n² > n² - 1 = (n - 1)(n + 1)$ với mọi $n ∈ N^{*}$
$ ⇒ \dfrac{2}{n²} < \dfrac{2}{(n - 1)(n + 1)} = \dfrac{(n + 1) - (n - 1)}{(n - 1)(n + 1)} $
$ = \dfrac{1}{n - 1} - \dfrac{1}{n + 1} (*)$
Áp dụng $(*)$ với $; = 3; 5;7;...; 2011$ ta có:
$ \dfrac{2}{3²} < \dfrac{1}{3 - 1} - \dfrac{1}{3 + 1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} $
$ \dfrac{2}{5²} < \dfrac{1}{5 - 1} - \dfrac{1}{5 + 1} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} $
$ \dfrac{2}{7²} < \dfrac{1}{7 - 1} - \dfrac{1}{7 + 1} = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{8} $
$..........................................$
$ \dfrac{2}{2011²} < \dfrac{1}{2011 - 1} - \dfrac{1}{2011 + 1} = \dfrac{1}{2010} - \dfrac{1}{2012} $
Cộng tất cả lại vế theo vế:
$ \dfrac{2}{3²} + \dfrac{2}{5²} + \dfrac{2}{7²} +....+ \dfrac{2}{2011²} $
$ < (\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}) + (\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}) + ....+(\dfrac{1}{2010} - \dfrac{1}{2012} )$
$ = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2012} = \dfrac{2012 - 2}{2.2012} = \dfrac{1005}{2012} (đpcm)$
