Đáp án:
`B_{min}=5/2` khi `x=0`
`C_{min}=1/2` khi `x=0`
`D_{min}=9/4` khi `x=2`
Giải thích các bước giải:
`1)` `B={x+4\sqrt{x}+5}/{\sqrt{x}+2}` `\quad (x\ge 0)`
`= {x+4\sqrt{x}+5}/{\sqrt{x}+2}-5/2+5/2`
`={2(x+4\sqrt{x}+5)-5(\sqrt{x}+2)}/{2(\sqrt{x}+2)}+5/2`
`={2x+8\sqrt{x}+10-5\sqrt{x}-10}/{2(\sqrt{x}+2)}+5/2`
`={2x+3\sqrt{x}}/{2(\sqrt{x}+2)}+5/2`
Với mọi `x\ge 0` ta có:
`=>`$\begin{cases}2x\ge 0\\3\sqrt{x}\ge 0\\\sqrt{x}+2\ge 2>0\end{cases}$
`=>{2x+3\sqrt{x}}/{2(\sqrt{x}+2)}\ge 0`
`=>{2x+3\sqrt{x}}/{2(\sqrt{x}+2)}+5/2\ge 5/2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=0`
Vậy $GTNN$ của $B$ bằng `5/2` khi `x=0`
$\\$
`2)` `C=x^2+1/{x^2+2}`
`=(x^2+1/{x^2+2}-1/2)+1/2`
`={2x^2(x^2+2)+1.2-(x^2+2)}/{2(x^2+2)}+1/2`
`={2x^4+4x^2+2-x^2-2}/{2(x^2+2)}+1/2`
`={2x^4+3x^2}/{2(x^2+2)}+1/2`
Với mọi `x` ta có:
`=>`$\begin{cases}2x^4\ge 0\\3x^2\ge 0\\x^2+2\ge 2>0\end{cases}$
`=>{2x^4+3x^2}/{2(x^2+2)}\ge 0`
`=>{2x^4+3x^2}/{2(x^2+2)}+1/2\ge 1/2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=0`
Vậy $GTNN$ của $C$ bằng `1/2` khi `x=0`
$\\$
`3)` `D=x+1/{x^2}` `\quad (x\ge 2)`
`=3/4x+x/8+x/8+1/{x^2}`
Vì `x\ge 2=>3/4x\ge 3/4 . 2=3/2`
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với ba số dương `x/8;x/8; 1/{x^2}` ta có:
`\qquad x/8+x/8+1/{x^2}\ge 3`$\sqrt[3]{\dfrac{x}{8}.\dfrac{x}{8}.\dfrac{1}{x^2}}$`=3/4`
`=>3/4x+x/8+x/8+1/{x^2}\ge 3/2+3/4=9/4`
Dấu "=" xảy ra khi:
$\quad \begin{cases}\dfrac{x}{8}=\dfrac{1}{x^2}\\x=2\end{cases}$`=>`$\begin{cases}x^3=8\\x=2\end{cases}$`=>x=2` (thỏa mãn)
Vậy $GTNN$ của $D$ bằng `9/4` khi `x=2`
