Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
Gọi đường kính của nửa hình tròn là \(x\,\,\left( m \right),\,\,\,\left( {0 < x < 8} \right).\)
Khi đó cạnh phía trên của hình chữ nhật là \(x\,\,\left( m \right).\)
Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là \(y\,\,\,\left( m \right),\,\,\left( {0 < y < 8} \right).\)
Độ dài của khuôn gỗ làm cửa = Độ dài nửa đường tròn + cạnh trên của cửa + 2 x cạnh bên của cửa.
Từ đó biểu diễn \(y\) theo \(x.\) Biểu thị biểu thức diện tích của cửa theo \(x\) rồi tìm \(x\) để tìm GTLN của diện tích.
Giải chi tiết:
Gọi đường kính của nửa hình tròn là \(x\,\,\left( m \right),\,\,\,\left( {0 < x < 8} \right).\)
\( \Rightarrow \) Bán kính của nửa đường tròn là: \(\dfrac{x}{2}\,\,\left( m \right).\)
Khi đó cạnh phía trên của hình chữ nhật là \(x\,\,\left( m \right).\)
Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là \(y\,\,\,\left( m \right),\,\,\left( {0 < y < 8} \right).\)
Độ dài nửa hình tròn phía trên là: \(\dfrac{1}{2}\pi .x = \dfrac{{\pi x}}{2}\,\,\left( m \right).\)
Khi đó ta có tổng độ dài các khuôn gỗ là:
\(\dfrac{{\pi x}}{2} + x + 2y = 8\) \( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{\pi }{2} + 1} \right)x + 2y = 8\)
\( \Leftrightarrow 2y = 8 - \left( {\dfrac{\pi }{2} + 1} \right)x\) \( \Leftrightarrow y = 4 - \left( {\dfrac{{\pi + 2}}{4}} \right)x\)
Diện tích của cửa sổ là: \(S = \dfrac{1}{2}\pi {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} + xy = \dfrac{{\pi {x^2}}}{8} + xy\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow S = \dfrac{{\pi {x^2}}}{8} + x\left[ {4 - \left( {\dfrac{{\pi + 2}}{4}} \right)x} \right]\\ \Leftrightarrow S = \dfrac{{\pi {x^2}}}{8} + 4x - \left( {\dfrac{{\pi + 2}}{4}} \right){x^2}\\ \Leftrightarrow S = - \left( {\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{2}} \right){x^2} + 4x\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{{\pi + 4}}{8}{x^2} + 4x\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{{\pi + 4}}{8}\left( {{x^2} - \dfrac{{32}}{{\pi + 4}}x} \right)\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{{\pi + 4}}{8}\left[ {{x^2} - 2x.\dfrac{{16}}{{\pi + 4}} + {{\left( {\dfrac{{16}}{{\pi + 4}}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{16}}{{\pi + 4}}} \right)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{{\pi + 4}}{8}{\left( {x - \dfrac{{16}}{{\pi + 4}}} \right)^2} + \dfrac{{32}}{{\pi + 4}} \le \dfrac{{32}}{{\pi + 4}}\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x - \dfrac{{16}}{{\pi + 4}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{16}}{{\pi + 4}}\,\,\left( {tm} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow y = 4 - \dfrac{{\pi + 2}}{4}.\dfrac{{16}}{{\pi + 4}} = \dfrac{{4\pi + 16 - 4\left( {\pi + 2} \right)}}{{\pi + 4}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4\pi + 16 - 4\pi - 8}}{{\pi + 4}} = \dfrac{8}{{\pi + 4}}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy khi cửa sổ có diện tích lớn nhất thì độ dài cạnh trên của hình chữ nhật là: \(\dfrac{{16}}{{\pi + 4}}\,\,m\) và cạnh bên của hình chữ nhật là: \(\dfrac{8}{{\pi + 4}}\,m.\)
Chọn B.
