Bài 1
Vẽ $DM;DN$ lần lượt vuông góc với $AB;AC$ $(M\in AB;N\in AC)$
Tứ giác $AMDN$ có:
`\hat{MAN}=\hat{AMD}=\hat{AND}=90°`
`=>AMDN` là hình chữ nhật
Mà `AD` là phân giác của `\hat{BAC}` (gt)
`=>AD` là phân giác của `\hat{MAN}`
`=>AMDN` là hình vuông
`=>DM=DN=AN=AM`
$\\$
$∆ADN$ vuông tại $N$
`=>AD^2=AN^2+DN^2=2DN^2` (định lý Pytago)
`=>AD=DN\sqrt{2}`
`=>DN={AD}/{\sqrt{2}}`
`=>1/{DN}={\sqrt{2}}/{AD}`
$\\$
$∆ABC$ có $DN$//$AB$ (cùng vuông góc $AC$)
`=>{DN}/{AB}={CD}/{BC}` (hệ quả định lý Talet)
$∆ABC$ có $DM$//$AC$ (cùng vuông góc $AB$)
`=>{DM}/{AC}={BD}/{BC}` (hệ quả định lý Talet)
`=>{DN}/{AC}={BD}/{BC}` (do $DN=DM$)
$\\$
`=>{DN}/{AB}+{DN}/{AC}={CD}/{BC}+{BD}/{BC}`
`=>DN. (1/{AB}+1/{AC})={CD+BD}/{BC}={BC}/{BC}=1`
`=>1/{DN}=1/{AB}+1/{AC}`
`=>{\sqrt{2}}/{AD}=1/{AB}+1/{AC}` (đpcm)
$\\$
Bài 2.
`a)` $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>BC^2=AB^2+AC^2` (định lý Pytago)
`=>BC^2=9^2+12^2=225`
`=>BC=15cm`
$\\$
$AD$ là phân giác `\hat{BAC}` (gt)
`=>{BD}/{CD}={AB}/{AC}=9/{12}=3/ 4`
`=>{BD}/3={CD}/4={BD+CD}/{3+4}={BC}/{7}={15}/7`
(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
`=>{BD}/3={15}/7=>BD={45}/7cm`
`\qquad {CD}/4={15}/7=>CD={60}/7 cm`
$\\$
$∆ABC$ có $DE$//$AB$ (cùng vuông góc $AC$)
`=>{DE}/{AB}={CD}/{BC}` (hệ quả định lý Talet)
`=>DE={AB.CD}/{BC}={9. {60}/7}/{15}={36}/7cm`
Vậy `BD={45}/7cm;CD={60}/7cm;DE={36}/7cm`
$\\$
`b)` $∆ABC$ vuông tại $A$
`S_{∆ABC}=1/ 2 AB.AC`
`=1/ 2 .9.12=54(cm^2)`
Vẽ $AH\perp BC$ tại $H$
`=>S_{∆ABD}=1/ 2 AH.BD`
`\qquad S_{∆ABC}=1/ 2 AH.BC`
`=>{S_{∆ABD}}/{S_{∆ABC}}={BD}/{BC}={{45}/{7}}/{15}=3/7`
`=>S_{∆ABD}=3/7. S_{∆ABC}`
`=3/7 . 54={162}/7(cm^2)`
`=>S_{∆ACD}=S_{∆ABC}-S_{∆ABD}=54-{162}/7={216}/7cm^2`
Vậy `S_{∆ABD}={162}/7cm^2;S_{∆ACD}={216}/7cm^2`
