*Lời giải :
`a)`
Vì `AM` là đường trung tuyến
`-> BM = CM`
Xét `ΔAMB` và `ΔDMC` có :
\(\left\{ \begin{array}{l}BM=CM (cmt)\\MD=MA(GT)\\\widehat{BMA}=\widehat{DMC}\end{array} \right.\)
`-> ΔAMB = ΔDMC (c.g.c)`
`b)`
Vì `ΔAMB = ΔDMC(cmt)`
`->` \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{ABM} =\widehat{MCD} \\AB=CD\end{array} \right.\)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→AB//CD$
mà `AB⊥AC` (Vì `ΔABC` vuông tại `A`)
`-> CD⊥AC`
Xét `ΔABC` và `ΔDMC` có :
\(\left\{ \begin{array}{l}AB=CD(cmt) (cmt)\\ACchung\\\widehat{BAC}=\widehat{DCA}=90^o\end{array} \right.\)
`-> ΔABC = ΔDMC (c.g.c)`
`c)`
Ta có : `AB = DC = 6cm`
Xét `ΔDCA` vuông tại `C` có :
`DC^2 + AC^2 = AD^2` (Pitago)
`-> AD^2 = 6^2 + 8^2`
`-> AD^2 = 10^2`
`-> AD = 10cm`
mà `MD = MA`
`-> M` là trung điểm của `AD`
`-> AM = 1/2 AD = 1/2 . 10 = 5cm`
`d)`
giả sử : `AM < (AB + AC)/2`
Ta có : `(AB + AC)/2`
`= (6 + 8)/2`
`= 14/2 = 7cm`
mà `AM = 5cm`
`-> 5cm < 7cm`
`-> AM < (AB + AC)/2` (Đúng như giả sử)
*Hình : phía dưới
