Bài 1
Do $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MN // AC.
CMTT ta có EF // AC.
Vậy MN // EF (//AC).
Tương tự, do M, F lần lượt là trung điểm của AB, DA nên MF là đường trung bình của tam giác ABD, do đó MF // BD.
CMTT ta có NE // BD.
Vậy MF // NE (//BD).
Xét tứ giác MNEF có MN // EF, MF// NE nên tứ giác này là hình bình hành.
Bài 2
Gọi K là giao điểm của CD và BM.
Do $AM \perp BD$ và H là trung điểm AM, do đó BH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ADM.
Vậy tam giác ADM cân tại D, do đó AD = DM.
Mặt khác, do tứ giác ABCD là hình bình hành nên AD = BC.
Vậy DM = BC (= AD).
Do $AM \perp BD$ và H là trung điểm AM, do đó BH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABM.
Vậy tam giác ABM cân tại B và BH là phân giác $\widehat{MBA}$.
Vậy $\widehat{MBH} = \widehat{HBA}$
Lại có AB // CD nên $\widehat{HBA} = \widehat{BDC}$ (2 góc so le trong)
Vậy $\widehat{MBH} = \widehat{BDC}$.
Vậy tam giác KBD cân tại K và theo tính chất tổng 3 góc trong tam giác ta có
$\widehat{BKD} + \widehat{KBD} + \widehat{KDB} = 180$
$<-> \widehat{BKD} + 2\widehat{KBD} = 180$
$<-> \widehat{KBD} = \dfrac{180 - \widehat{BKD}}{2}$
Lại có $\widehat{BKD} = \widehat{CKM}$ (2 góc đối đỉnh) nên
$\widehat{KBD} = \dfrac{180 - \widehat{CKM}}{2}$.
Do tam giác ABM cân tại B nên BM = BA. Lại có tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB = CD.
Vậy CD = BM.
Xét tam giác BCM và DCM có
$\begin{cases}
BM = CD\\
CB = MD
CM chung
\end{cases}$
Vậy tam giác BCM = tam giác DCM, do đó $\widehat{BMC} = \widehat{DCM}$
Vậy tam giác KCM cân tại K. Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong tam giác ta có
$\widehat{KCM} + \widehat{KMC} + \widehat{CKM} = 180$
$<-> 2\widehat{KMC} + \widehat{CKM} = 180$
$<-> \widehat{KMC} = \dfrac{180 - \widehat{CKM}}{2}$
Lại có $\widehat{KBD} = \dfrac{180 - \widehat{CKM}}{2}$
Vậy $\widehat{KBD} = \widehat{KMC}$. Mà 2 góc ở vị trí so le trong nên MC // DC.
Vậy tứ giác CMDB là hình thang.
Lại có CB = MD.
Vậy tứ giác CMDC là hình thang cân.
