Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt vế trái của biểu thức cần chứng minh là S
Ta có:
$n^2+(n+1)^2=n^2+n^2+2n+1>2n^2+2n=2n(n+1)$
$⇒\dfrac{1}{n^2+(n+1)^2}<\dfrac{1}{2n(n+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \right)$
Do đó:
$S<\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} \right)+...+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \right)$
$⇔S<\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \right)$
$⇔S<\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{n+1} \right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2(n+1)}<\dfrac{1}{2}$
Vậy $S<\dfrac{1}{2}$ (đpcm)
