Đáp án:
Bài 1: GTNN của $A$ là $\dfrac{16159}{8}$, đạt đc khi $x = \dfrac{1}{4}$.
Bài 2: GTNN của $K$ là $-17$, đạt đc khi $x = 6, y = 3$.
Giải thích các bước giải:
Bài 1
Ta có
$A = 2x^2 - x + 2020$
$= (x \sqrt{2})^2 - 2 . x\sqrt{2} . \dfrac{1}{2\sqrt{2}} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{16159}{8}$
$= \left( x \sqrt{2} - \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 + \dfrac{16159}{8}$
Ta lại có
$\left( x \sqrt{2} - \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 \geq 0$ với mọi $x$
$\Leftrightarrow \left( x \sqrt{2} - \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 + \dfrac{16159}{8} \geq \dfrac{16159}{8}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x \sqrt{2} - \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = 0$ hay $x = \dfrac{1}{4}$.
Vậy GTNN của $A$ là $\dfrac{16159}{8}$, đạt đc khi $x = \dfrac{1}{4}$.
Bài 2
Ta có
$K = x^2 - 2xy + 2y^2 - 6x + 1$
Suy ra
$2K = 2x^2 - 4xy + 4y^2 - 12x + 2$
$= (x^2 - 4xy + 4y^2) + (x^2 - 12x + 36) - 34$
$= (x-2y)^2 + (x-6)^2 - 34$
Ta có
$(x-2y)^2 + (x-6)^2 \geq 0$ với mọi $x$
$\Leftrightarrow (x-2y)^2 + (x-6)^2 - 34 \geq -34$ với mọi $x$
$\Leftrightarrow 2K \geq -34$ với mọi $x$
$\Leftrightarrow K \geq -17$ với mọi $x$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x - 2y = x-6 = 0$ hay $x = 6, y = 3$.
Vậy GTNN của $K$ là $-17$, đạt đc khi $x = 6, y = 3$.
