Đáp án:
Giải thích các bước giải:
EB cắt CG tại P. Theo Thales, ta có: $\dfrac{EB}{FG} = \dfrac{AE}{AF} ; \dfrac{FG}{BP} = \dfrac{CF}{BC} \rightarrow \dfrac{EB}{BP} = \dfrac{AE}{AF} . \dfrac{CF}{BC}$
Áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta EFB$ có ba điểm A, D, C thẳng hàng $(C \in BF, D \in EB, A \in EF)$, ta có: $\frac{AE}{AF} . \frac{CF}{BC} . \frac{DB}{DE} = 1$
$\rightarrow \dfrac{AE}{AF} . \dfrac{CF}{BC} = \dfrac{DE}{DB} = \dfrac{EB}{BP} = \dfrac{DE+EB}{DB+BP} = \dfrac{DB}{DP} \rightarrow DB^2 = DE. DP = DC^2 \rightarrow \Delta DEC \sim \Delta DCP \rightarrow \widehat{DCE} = \widehat{DPC} = \widehat{FGC} \leftrightarrow \widehat{DCB} - \widehat{ECB} = \widehat{BFG} - \widehat{BCG} = \widehat{DBC} - \widehat{BCG}$
$\rightarrow$ CB là tia phân giác $\widehat{DCG}$.
Ta có: $\widehat{GKC} = \widehat{BEC} = 180^o - \widehat{GHC} \rightarrow \widehat{GKC} + \widehat{GHC} = 180^o \rightarrow$ GKCH nội tiếp $\rightarrow \widehat{GHK} = \widehat{GCK}$. Mà $\widehat{BHE} = \widehat{BCE}$ nên $\widehat{IHK} = \widehat{BCG} = \widehat{ICK}$.
Do vậy, tứ giác IHCK nội tiếp
=> 5 điểm G, H, C, K, I cùng thuộc một đường tròn
$\rightarrow \widehat{IKG} = \widehat{IHG} = \widehat{ICG} = \widehat{KCI} = \widehat{IHK} = \widehat{IGK} \rightarrow \Delta IGK$ cân tại I
=> IG = IK (đpcm).
