Đáp án:
`m=3/ 4`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^2-(2m-1)x+m-2=0`
`∆=b^2-4ac=[-(2m-1)]^2-4.1.(m-2)`
`∆=4m^2-4m+1-4m+8`
`∆=4m^2-8m+9=4(m^2-2m+1)+5`
`∆=4(m-1)^2+5\ge 5>0` với mọi `m`
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
Theo hệ thức Viet ta có:
`x_1+x_2={-b}/a=2m-1`
`x_1x_2=c/a=m+2`
Ta có:
`A=x_1^2+x_2^2`
`=x_2^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2`
`=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2`
`=(2m-1)^2-2.(m-2)`
`=(2m)^2-4m+1-2m+4`
`=(2m)^2-6m+5`
`=(2m)^2-2.2m. 3/ 2 + 9/ 4 +{11}/4`
`=(2m-3/ 2)^2+{11}/4`
Vì `(2m-3/ 2)^2\ge 0` với mọi `m`
`=>(2m-3/ 2)^2+{11}/4\ge {11}/4`
Dấu "=" xảy ra khi `2m-3/ 2 =0<=>m=3/ 4`
Vậy khi `m=3/ 4` thì phương trình có hai nghiệm `x_1;x_2` thỏa `A=x_1^2+x_2^2` có $GTNN$ bằng `{11}/4`
